2.1.9 Estudio de regresión y correlación, lineal, cuadrática y cúbica.

 El objetivo del Análisis de regresión es determinar una función matemática sencilla que describa el comportamiento de una variable dados los valores de otra u otras variables. En el Análisis de regresión simple, se pretende estudiar y explicar el comportamiento de una variable que notamos y, y que llamaremos variable explicada, variable dependiente o variable de interés, a partir de otra variable, que notamos x, y que llamamos variable explicativa, variable independiente o variable de predicción. El principal objetivo de la regresión es encontrar la función que mejor explique la relación entre la variable dependiente y las independientes.

Para cumplir dicho objetivo, el primer paso que debe realizar el investigador, es representar las observaciones de ambas variables en un gráfico llamado diagrama de dispersión o nube de puntos. A partir de esta representación el investigador puede especificar la forma funcional de la función de regresión.

A menudo se supone que la relación que guardan la variable dependiente y las independientes es lineal. En estos casos, se utlizan los modelos de regresión lineal. Aunque las relaciones lineales aparecen de forma frecuente, también es posible considerar otro tipo de relación entre las variables, que se modelizan mediante otros modelos de regresión, como pueden ser el modelo de regresión cuadrático o parabólico o el modelo de regresión hiperbólico.

La correlación está íntimamente ligada con la regresión en el sentido de que se centra en el estudio del grado de asociación entre variables. Por lo tanto, una variable independiente que presente un alto grado de correlación con una variable dependiente será muy útil para predecir los valores de ésta última. Cuando la relación entre las variables es lineal, se habla de correlación lineal. Una de las medidas más utilizadas para medir la correlación lineal entre variables es el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

En esta práctica se mostrará cómo ajustar un modelo de regresión con R, prestando especial atención a los modelos de regresión lineal. Además, enseñaremos como calcular e interpretar algunas medidas de correlación.

La regresión lineal simple supone que los valores de la variable dependiente, a los que llamaremos yi, pueden escribirse en función de los valores de una única variable independiente, los cuales notaremos por xi, según el siguiente modelo lineal

habitualmente, al iniciar un estudio de regresión lineal simple se suelen representar los valores de la variable dependiente y de la variable independiente de forma conjunta mediante un diagrama de dispersión para determinar si realmente existe una relación lineal entre ambas. Para realizar un diagrama de dispersión en R utilizaremos la orden plot

Aunque los modelos de regresión lineal (tanto simple como múltiple) funcionan bien en una amplia mayoría de situaciones, en ocasiones es necesario considerar modelos más complejos para conseguir un mejor ajuste a los datos.

Un ejemplo de este tipo de modelos es la regresión cuadrática. El modelo más sencillo de regresión cuadrática es el siguiente:

yi=β^0+β^1x1i+β^2x22i

Expresión 7: Regresión cuadrática

Para ajustar un modelo de regresión cuadrático en R basta con indicar en el argumento formula de la función lm que una de las variables independientes está elevada al cuadrado mediante el símbolo ^2.